دانلود پایان نامه درمورد تبدیل فوریه و تعریف بیان


Widget not in any sidebars

4-4-4 تبدیل موجک
موجک یا ویولتدسته‌ای از توابع ریاضی هستند که برای تجزیه سیگنال پیوسته به مؤلفه‌های فرکانسی آن بکار می‌رود که رزولوشن هر مؤلفه برابر با مقیاس آن است.نحلیل سیگنالهای غیرمانااز عهده تبدیل فوریه خارج است و باید از تبدیل ویولت استفاده کرد.تیدیل ویولت تحلیلی چند وضوحه ارائه میدهد و سیگنال را از حوزه زمان به حوزه فرکانس زمان میبرد.قدرت این سیگنال در تحلیل سیگنالهای نامانا، موجب کارآمدی آن در پایش آسیب سازهها شده است. تبدیل موجک، تجزیه یک تابع بر مبنای توابع موجک می‌باشد. توابع موجک دارای باند محدود هم در حوزه زمان وهم درحوزه فرکانس هستند، که بصورت عددی و یا تحلیلی ساخته میشوند.این توابع بصورت متقارن،متقارن معکوس،حقیقی و یا مجازی موجود میباشند. موجک‌ها (که به عنوان موجک‌های دختر شناخته می‌شوند) نمونه‌های انتقال یافته ومقیاس شده از یک تابع موجک مادر (با طول متناهی و نوسانی شدیداً میرا) هستند. انتخاب تابع ویولت اولین گام در آنالیز ویولت میباشد. چند نمونه تابع موجک مادر در اشکال(4-10)و(4-11) نمایش داده شده‌اند.‬
(4-9)
شکل4-10. معمولا مقدار برابر 5 انتخاب می شود. (Matlab) [2]
شکل 4-11. تابع موجک کلاه مکزیکی (Matlab) [2]
از تبدیل فوریه میتوان یک سیگنال را به وسیله سری نامحدودهی از سینوس و کسینوس تعریف بیان کرد. به این جمع بسط فوریه گفته میشود.مشکل بزرگ این بسط نداشتن وضوح زمانی است.به عبارت دیگر نمیتوان زمان وقوع فرکانسهای مختلف را در سیگنال بدست آورد. برای حل این مشکل در دهههای گذشته روشهای گوناگونی ارایه شده است.
ایده اصلی این توصیف زمان-فرکانس، بریدن سیگنال به قسمتهای کوچیکتر و تحلیل سیگنال در آن قسمت است. با این حال نکته مهم این روشها، چگونگی بریدن سیگنال به قطعات مختلف است.اصل عدم قطعیت هایزنبرنگ بیان میکند که نمیتوان در آن واحد فرکانس خاص و زمان رخداد آن را در سیگنال دانست.این اصل بر اهمیت چگونگی برش سیگنال میافزاید[9].
تبدیل و یا تحلیل ویولت را میتوان بهترین راهحل ارایه شده برای این موضوع دانست.دراین تبدیل با استفاده از یک پنجره کاملاً قابل تغییر، سیگنال را قطعه قطعه میتوان تحلیل کرد.در مرحله بعد پنجره برش را بزرگتر و یا کوچکتر کرده و این عملیات به دفعات تکرار میشود. درنهایت مجموعهای از توصیفات زمان-فرکانس در وضوحهای مختلف به دست خواهد آمد.به این مجموعه توصیفات از سیگنال تحلیل چند وضوحه نیز میتوان گفت.در تحلیل معمولاً به جای توصیف زمان-فرکانس از واژه توصیف زمان-مقیاس استفاده میشود که مقیاس چیزی به معکوس فرکانس میباشد.مقیاس بزرگ مانند تصویری جامع و مقیاس کوچک مانند تصویری با جزئیات (شکل 4-12) میباشد.
شکل 4-12. سیگنال وتبدیل فوریه آن ]9[
حال سیگنال (شکل 4-13) را که از چهار فرکانس غالب در چهار بازه زمانی مختلف تشکیل شده است را در نظر بگیریم و تبدیل فوریه آن را محاسبه کنیم خواهیم داشت:
شکل 4-13. سیگنال و تبدیل فوریه آن ]9[
همانطور که در شکل 4-13 مشاهده می شود تبدیل فوریه قادر به تمیز دادن بین این دو سیگنال نمیباشد.جهت برطرف کردن حل مشکلات تبدیل فوریه جمله کوتاه تبدیل فوریه STFT بوجود آمد.این سیگنال را به حوزه زمان فرکانس میبرد.اشکال تبدیل STFT در دقت محدود آن در تعیین وضوح زمان و فرکانس است که تابع اندازه پنجره تحلیل میباشد.
به طور مثال سیگنال شکل 4-14 و 4-15 متشکل از چهار فرکانس غالب در چهار بازه زمانی مختلف است را در نظر بگیرید، تبدیل STFT فوریه آن به فرم زیر خواهد بود:
شکل4-14. سیگنال مورد بررسی[9]
شکل 4-15. تبدیل STFT ]9[
همانطور انتظار میرفت این یک تبدیل دوبعدی باشد.ابتدا توجه شود که این تبدیل نسبت به مرکز فرکانس متقارن است که مانند فوریه میباشد.نکته بعدی وجود چهار قله است که در محور زمان ازهم جدا شدهاند.این قلهها نماینده چهار فرکانس سیگنال مورد بررسی هستند که در چهار بازه زمانی رخ داده بودند.با این حال به دلیل اصل عدم قطعیتهای زنبرگ نمیتوان زمان دقیق رخداد هر فرکانس را تعیین و تنها میتوان محدوده آن را معلوم کرد.این مشکل ناشی از عرض پنجره تبدیل STFT میباشد.این پنجره به دلیل طول محدودش تنها قسمتی از سیگنال را پوشش میدهد.لذا تنها میتوان به وجود دامنهای از فرکانسها در سیگنال پی برد.
اگر عرض پنجره نامحدود انتخاب شود تبدیل به تبدیل فوریه ملقب خواهد شد و وضوح فرکانسی کامل و وضوح زمانی صفر خواهد داد. به علاوه بر جهت تامین حالت ایستا بایست از پنجره کوچک استفاده شود. هرچند این پنجره باریکتر باشد وضوح فرکانسی بدتر و وضوح زمانی بهتر خواهد شد.
پنجره باریک…………وضوح زمانی خوب و وضوح فرکانسی بد
پنجره تعویض………وضوح زمانی بد و وضوح فرکانسی خوب
جهت بهتر معلوم شدن اثر عرض پنجرهها به مثال زیرتوجه کنید. در اینجا از چهارپنجره نشان داده جهت تحلیلSTFT یک سیگنال استفاده میشود(شکل 4-16).تابع پنجره از رابطه زیر طبیعت مینماید:
(4-22)
، تعیین کننده عرض پنجره است در مثال قبلی پنجره و ” ” که در اینجا به مقدار 0.001 محاسبه شده بود؛ همانطور که در شکل 4-17 معلوم است چهار قله در حوزه زمان به خوبی از هم جدا میباشند.با اینحال هر قله در حوزه فرکانس مقادیری از فرکانسها را پوشش میدهد.حال از پنجره سوم برای تحلیل استفاده میشود (شکل 4-18). دقت شودکه قلهها به خوبی زمان از یکدیگر جدا نیستند ولی در حوزه فرکانس بخوبی متمایز میباشند.در نهایت با استفاده از پنجره چهارم شکل زیر به دست میآید.
شکل 4-16. پنجره های مورد استفاده ]9[
شکل 4-17: نمای 3 بعدی از پنجره های مذکور ]9[