تحقیق با موضوع معادله و مجموعه


Widget not in any sidebars

و چگالیِ احتمال و جریان به شکلِ چاربردارِ

در میآیند که معادلهیِ پیوستگی (هموردا)

را ارضاء میکند. در موردِ حلِ ذرهیِ آزادِ

داریم:

در موردِ مقادیرِ ویژهیِ انرژیِ مربوط به معادلهیِ کلاین-گوردن چه میتوان گفت؟ با جایگذاریِ در داریم:

بنابر این علاوه بر حلهایِ قابلِ قبولِ ، حلهایِ انرژی منفی هم داریم. در نگاهِ اول این موضوع یک فاجعه است، چرا که گذارها میتوانند به انرژیهایِ پایین و پایینتر (منفیتر) رخ دهند. مشکلِ دوم این است که با توجه به ، حلهایِ مربوط به یک چگالیِ احتمالِ منفی میباشند. واضح است که نمیتوانیم حلهایِ انرژی منفی را دور بیاندازیم چرا که باید با مجموعهیِ کامل از جوابها کار کنیم، و این مجموعه به ناچار شاملِ حالتهایِ ناخواسته میشود.
بدلیلِ این مشکلات، تا سالِ 1934 معادلهیِ دیراک (قسمتِ بعد) تنها معادلهیِ موجِ نسبیتیِ قابلِ قبول بود. در سالِ 1934، پائولی و ویسکوف با وارد کردنِ بارِ به درونِ جریانِ و تفسیرِ آن به عنوانِ چگالی جریانِ بارِ الکترون به صورتِ

معادلهیِ کلاین-گوردن را دوبارِ احیا کردند. حال نشاندهندهیِ یک چگالیِ بار است، نه چگالیِ احتمال، و بنابراین این حقیقت که میتواند منفی باشد دیگر غیرِقابلِ قبول نبود.
همانطور که قبلاً گفته شد، نسخهای که ما برایِ کار با حالتهایِ انرژی منفی استفاده میکنیم توسطِ استاکلبرگ (1941) و فاینمن (1948) پیشنهاد شده است. در سادهترین بیان، این ایده این است که حل انرژی منفی ذرهای را توصیف میکند که در زمان به عقب انتشار مییابد یا، به طورِ معادل، پاد ذرهیِ انرژی مثبتی را توصیف میکند که در زمان به سمتِ جلو حرکت میکند.
الکترونی با انرژیِ و اندازهحرکتِ و بارِ در نظر بگیرید. از و نتیجه میگیریم که

چاربردارِ جریانِ الکترومغناطیسی میباشد. حال پادماده (پوزیترون) را با همان انرژیِ و اندازهحرکتِ ، درنظر بگیرید. تا وقتی بارِ آن باشد، جریان به صورتِ

بدت میآید، که این دقیقاً مانندِ جریانِ برایِ الکترونی با انرژیِ و اندازهحرکتِ میباشد. بنابراین ، تا جایی که به سیستم مربوط است، انتشارِ یک پوزیترون با انرژیِ و اندازهحرکتِ مانندِ جذبِ یک الکترون با انرژیِ است.
1-3-3 معادلهیِ دیراک
زمانی تصور می شد معادله ی کلاین-گوردن تنها تعمیمِ نسبیتیِ معادله ی شرودینگر است تا اینکه معادلهی دیراک به عنوانِ پیشهادی دیگر کشف شد. هدفِ او نوشتن معادله ای بود که، بر خلافِ معادلهی کلاین-گوردن، نسبت به خطی باشد. بدلیلِ هموردا بودن، پس باید نسبت به خطی و دارایِ فرمِ کلیِ

باشد. این چهار ضریبِ و () بوسیلهیِ الزامِ ارضا شدنِ معادله توسطِ ذراتِ آزادِ دارایِ انرژی نسبیتیِ ، تعیین می شوند:

معادلاتِ و معادلهیِ دیراک را بیان می کنند. نشان می دهیم که حل های آن به قدرِ کافی دارای ساختارِ غنی برای توصیفِ ذرات و پاد ذرات با اسپین است.